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Insegnamento: Geometria e algebra lineare (Offerta Formativa a.a. 2017/2018)

Corso di studio: INGEGNERIA GESTIONALE (D.M.270/04)

CFU9
Moduli

Modulo: Geometria e algebra lineare
TAF: Base; SSD: MAT/03; Ambito: matematica, informatica e statistica
Docenti: Luigi GRASSELLI, Claudia LANDI

Materiale Didattico Accedi al materiale didattico su Dolly
Propedeuticità obbligatorie
Modalità di accertamento del profitto Orale
Modalità di valutazione Voto
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Lingua di insegnamento

Italiano

Partizionamento studenti

Iniziali cognome L-Z

Obiettivi

Il corso intende fornire le conoscenze di base di algebra lineare e geometria euclidea. Intende inoltre fornire la capacità di analizzare alcuni problemi algebrici e geometrici nonché sviluppare una mentalità orientata alla risoluzione di problemi modellabili con l'algebra lineare. Più in particolare gli obiettivi di apprendimento attesi a seguito del completamento del corso e superamento del relativo esame sono, con riferimento ai descrittori di Dublino, i seguenti: Conoscenza e capacità di comprensione: 1. Conoscenza e comprensione dei concetti di base sulle strutture algebriche di gruppo, campo, spazio vettoriale. 2. Conoscenza e comprensione della teoria delle matrici. 3. Conoscenza e comprensione delle proprietà delle trasformazioni lineari. 4. Conoscenza e comprensione delle principali proprietà degli spazi vettoriali euclidei. 5. Conoscenza e comprensione della teoria degli spazi e sottospazi euclidei. 6. Conoscenza e comprensione della teoria delle coniche e delle quadriche euclidee. Capacità di applicare conoscenza e comprensione: 7. Capacità di analizzare e risolvere problemi di algebra lineare utilizzando la teoria delle matrici. 8. Capacità di analizzare e risolvere problemi di geometria euclidea utilizzando tecniche algebriche.

Prerequisiti

Principali operazioni tra insiemi. Gli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali, reali e loro principali proprietà. Algebra polinomiale. Equazioni e disequazioni algebriche. Potenze, radici e logaritmi. Funzioni trigonometriche. Equazioni di rette del piano e coniche come luoghi geometrici. Per accedere all'esame è richiesto il superamento di una prova sulle conoscenze di base di matematica e l'assolvimento di eventuali Obblighi Formativi Aggiuntivi (OFA, si vedano a tal proposito le informazioni contenute nella relativa pagina web del DISMI).

Contenuti

1 - Insiemi e relazioni. Operazioni tra insiemi. Prodotto Cartesiano. Relazioni ed applicazioni. Cardinalità di un insieme. 2 - Strutture algebriche. Gruppi, anelli e campi. Sottostrutture e morfismi. n-uple. L'anello dei polinomi. 3 - Operazioni tra matrici. L'anello delle matrici quadrate. Matrici regolari. Matrici ridotte e operazioni elementari. Permutazioni. Determinante di una matrice quadrata. Proprietà del determinante. Metodi di calcolo del determinante. Minori e complementi algebrici. Teorema di Laplace. Matrice inversa. 4 - Spazi e sottospazi vettoriali. Combinazioni lineari. Sistemi di generatori. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. Spazi finitamente generati. Dimensione. Componenti di un vettore. Somma e intersezione di sottospazi. Somma diretta. 5 - Trasformazioni lineari. Nucleo e immagine. Relazione dimensionale. Matrici associate ad una trasformazione lineare. Rango di una matrice. Cambiamenti di base. 6 - Sistemi lineari. Struttura dello spazio delle soluzioni. Algoritmi di risoluzione. Rappresentazione cartesiana e parametrica dei sottospazi vettoriali. 7 - Autovalori e autospazi di operatori lineari. Matrici simili. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica. Basi spettrali. Diagonalizzazione di matrici. 8 - Norme e prodotti scalari. Insiemi e basi ortonormali. Spazi vettoriali euclidei. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Matrici ortogonali. Sottospazi e complementi ortogonali. 9 - Spazi euclidei. Riferimenti cartesiani. Coordinate cartesiane. Sottospazi euclidei. Rappresentazioni di sottospazi euclidei. Condizioni di parallelismo e ortogonalità tra sottospazi euclidei. Distanza euclidea. 10 - Ampliamento proiettivo di uno spazio euclideo, coniche e quadriche, discriminante, polarità, classificazione euclidea, equazioni canoniche.

Metodi didattici

Il corso prevede lezioni teoriche ed esercitazioni in aula dedicate alla soluzione di esercizi di geometria e algebra facendo uso dei metodi teorici esposti. Le lezioni svolte dai docenti sono supportate da corsi di sostegno e attività di tutorato disciplinare. Sono previsti test di autovalutazione al termine dello svolgimento di parti significative del corso.

Verifica dell'apprendimento

L’esame prevede: * Una prova scritta volta a verificare il conseguimento da parte dello studente degli obiettivi di apprendimento 7-8. La prova scritta è articolata in una parte a quiz con risposta multipla tendenti a verificare il livello di conoscenza teorica, e in una seconda parte di esercizi tendenti a verificare la capacità di applicare le nozioni teoriche in contesti concreti. * Una prova orale volta a verificare il conseguimento da parte dello studente degli obiettivi di apprendimento 1-6 mediante l'esposizione di due temi proposti dal docente.

Risultati attesi

Conoscenza e capacità di comprensione: Tramite lezioni in aula, lo studente apprende i metodi principali della modellistica matematica basata sull'algebra lineare e acquisisce la capacità di comprenderne la letteratura specifica. Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Tramite le esercitazioni pratiche, lo studente è in grado di applicare le conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi geometrici e algebrici. Capacità di apprendimento: le attività descritte consentono allo studente di acquisire gli strumenti metodologici per proseguire gli studi e per potere provvedere autonomamente al proprio aggiornamento.

Testi

M.R. Casali, C. Gagliardi, L. Grasselli, "Geometria", Ed. Esculapio, III Ed. 2016 ISBN: 978-88-7488-976-1

A. Barani, L. Grasselli, C. Landi, "Algebra Lineare e Geometria: quiz ed esercizi commentati e risolti", II Ed. 2014 ISBN: 9788874886951

Docenti

Luigi GRASSELLI
Claudia LANDI

Partizionamento studenti

Iniziali cognome A-K

Obiettivi

Il corso intende fornire le conoscenze di base di algebra lineare e geometria euclidea. Intende inoltre fornire la capacità di analizzare alcuni problemi algebrici e geometrici nonché sviluppare una mentalità orientata alla risoluzione di problemi modellabili con l'algebra lineare. Più in particolare gli obiettivi di apprendimento attesi a seguito del completamento del corso e superamento del relativo esame sono, con riferimento ai descrittori di Dublino, i seguenti: Conoscenza e capacità di comprensione: 1. Conoscenza e comprensione dei concetti di base sulle strutture algebriche di gruppo, campo, spazio vettoriale. 2. Conoscenza e comprensione della teoria delle matrici. 3. Conoscenza e comprensione delle proprietà delle trasformazioni lineari. 4. Conoscenza e comprensione delle principali proprietà degli spazi vettoriali euclidei. 5. Conoscenza e comprensione della teoria degli spazi e sottospazi euclidei. 6. Conoscenza e comprensione della teoria delle coniche e delle quadriche euclidee. Capacità di applicare conoscenza e comprensione: 7. Capacità di analizzare e risolvere problemi di algebra lineare utilizzando la teoria delle matrici. 8. Capacità di analizzare e risolvere problemi di geometria euclidea utilizzando tecniche algebriche.

Prerequisiti

Principali operazioni tra insiemi. Gli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali, reali e loro principali proprietà. Algebra polinomiale. Equazioni e disequazioni algebriche. Potenze, radici e logaritmi. Funzioni trigonometriche. Equazioni di rette del piano e coniche come luoghi geometrici. Per accedere all'esame è richiesto il superamento di una prova sulle conoscenze di base di matematica e l'assolvimento di eventuali Obblighi Formativi Aggiuntivi (OFA, si vedano a tal proposito le informazioni contenute nella relativa pagina web del DISMI).

Contenuti

1 - Insiemi e relazioni. Operazioni tra insiemi. Prodotto Cartesiano. Relazioni ed applicazioni. Cardinalità di un insieme. 2 - Strutture algebriche. Gruppi, anelli e campi. Sottostrutture e morfismi. n-uple. L'anello dei polinomi. 3 - Operazioni tra matrici. L'anello delle matrici quadrate. Matrici regolari. Matrici ridotte e operazioni elementari. Permutazioni. Determinante di una matrice quadrata. Proprietà del determinante. Metodi di calcolo del determinante. Minori e complementi algebrici. Teorema di Laplace. Matrice inversa. 4 - Spazi e sottospazi vettoriali. Combinazioni lineari. Sistemi di generatori. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. Spazi finitamente generati. Dimensione. Componenti di un vettore. Somma e intersezione di sottospazi. Somma diretta. 5 - Trasformazioni lineari. Nucleo e immagine. Relazione dimensionale. Matrici associate ad una trasformazione lineare. Rango di una matrice. Cambiamenti di base. 6 - Sistemi lineari. Struttura dello spazio delle soluzioni. Algoritmi di risoluzione. Rappresentazione cartesiana e parametrica dei sottospazi vettoriali. 7 - Autovalori e autospazi di operatori lineari. Matrici simili. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica. Basi spettrali. Diagonalizzazione di matrici. 8 - Norme e prodotti scalari. Insiemi e basi ortonormali. Spazi vettoriali euclidei. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Matrici ortogonali. Sottospazi e complementi ortogonali. 9 - Spazi euclidei. Riferimenti cartesiani. Coordinate cartesiane. Sottospazi euclidei. Rappresentazioni di sottospazi euclidei. Condizioni di parallelismo e ortogonalità tra sottospazi euclidei. Distanza euclidea. 10 - Ampliamento proiettivo di uno spazio euclideo, coniche e quadriche, discriminante, polarità, classificazione euclidea, equazioni canoniche.

Metodi didattici

Il corso prevede lezioni teoriche ed esercitazioni in aula dedicate alla soluzione di esercizi di geometria e algebra facendo uso dei metodi teorici esposti. Le lezioni svolte dai docenti sono supportate da corsi di sostegno e attività di tutorato disciplinare. Sono previsti test di autovalutazione al termine dello svolgimento di parti significative del corso.

Verifica dell'apprendimento

L’esame prevede: * Una prova scritta volta a verificare il conseguimento da parte dello studente degli obiettivi di apprendimento 7-8. La prova scritta è articolata in una parte a quiz con risposta multipla tendenti a verificare il livello di conoscenza teorica, e in una seconda parte di esercizi tendenti a verificare la capacità di applicare le nozioni teoriche in contesti concreti. * Una prova orale volta a verificare il conseguimento da parte dello studente degli obiettivi di apprendimento 1-6 mediante l'esposizione di due temi proposti dal docente.

Risultati attesi

Conoscenza e capacità di comprensione: Tramite lezioni in aula, lo studente apprende i metodi principali della modellistica matematica basata sull'algebra lineare e acquisisce la capacità di comprenderne la letteratura specifica. Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Tramite le esercitazioni pratiche, lo studente è in grado di applicare le conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi geometrici e algebrici. Capacità di apprendimento: le attività descritte consentono allo studente di acquisire gli strumenti metodologici per proseguire gli studi e per potere provvedere autonomamente al proprio aggiornamento.

Testi

M.R. Casali, C. Gagliardi, L. Grasselli, "Geometria", Ed. Esculapio, III Ed. 2016 ISBN: 978-88-7488-976-1

A. Barani, L. Grasselli, C. Landi, "Algebra Lineare e Geometria: quiz ed esercizi commentati e risolti", II Ed. 2014 ISBN: 9788874886951

Docenti

Luigi GRASSELLI